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物理学难题集萃
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$Y-\Delta$ 变换的推广

引入：三端线性电阻网络的等效变换

$$Y \rightarrow \Delta:\ \begin{cases} R_{12}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3} \\ R_{23}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1}\\ R_{13}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2} \end{cases}$$ $$\Delta \rightarrow Y:\ \begin{cases} R_{1}=\frac{R_{12}R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}} \\ R_{2}=\frac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}\\ R_{3}=\frac{R_{13}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}} \end{cases}$$

四端线性电阻网络的等效变换：

等效条件：已知 $\varphi_i(i=1,2,3,4)$（各点电势），使 $I_i(i=1,2,3,4)$ （各点流出的总电流）

在左图中，有方程：

$$\begin{cases} \varphi_1 - \varphi_2 = I_1R_1-I_2R_2\\ \varphi_1 - \varphi_3 = I_1R_1-I_3R_3\\ \varphi_1 - \varphi_4 = I_1R_1-I_4R_4\\ I_1+I_2+I_3+I_4=0\end{cases}$$

由前三个方程得：

$$I_2=I_1 \cdot \frac{R_1}{R_2}+\frac{\varphi_2-\varphi_1}{R_2} \\ I_3=I_1 \cdot \frac{R_1}{R_3}+\frac{\varphi_3-\varphi_1}{R_3} \\ I_4=I_1 \cdot \frac{R_1}{R_4}+\frac{\varphi_4-\varphi_1}{R_4}$$

代入第四个方程得：

$$I_1(1+\frac{R_1}{R_2} +\frac{R_1}{R_3} +\frac{R_1}{R_4})+\frac{\varphi_2-\varphi_1}{R_2} +\frac{\varphi_3-\varphi_1}{R_3} +\frac{\varphi_4-\varphi_1}{R_4} =0$$

解得：

$$I_1=\frac{\varphi_1(R_2R_3+R_2R_4+R_3R_4)-\varphi_2R_3R_4-\varphi_3R_2R_4-\varphi_4R_2R_3}{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}$$

在右图中：

$$\begin{cases}\varphi_1-\varphi_2=I_{12}R_{12}\\ \varphi_1-\varphi_3=I_{13}R_{13}\\ \varphi_4-\varphi_1=I_{41}R_{41}\end{cases}$$

解得：

$$I_1=\varphi_1(\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_{13}}+\frac{1}{R_{41}})-\frac{\varphi_2}{R_{12}}-\frac{\varphi_3}{R_{13}}-\frac{\varphi_4}{R_{41}}$$

由等效条件，应有 $\forall \varphi_i(i=1,2,3,4),I_1$ 在左、右图中相等。

故有对于相同的 $\varphi_i(i=1,2,3,4)$ 在左右图 $I_1$ 中对应的系数相同，即：

$$\begin{cases} \frac{R_2R_3+R_2R_4+R_3R_4}{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}= \frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_{13}}+\frac{1}{R_{41}}\\ -\frac{R_3R_4}{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}=-\frac{1}{R_{12}}\\ -\frac{R_2R_4}{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}=-\frac{1}{R_{13}}\\ -\frac{R_2R_3}{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}=-\frac{1}{R_{41}}\end{cases}$$

可解得：

$$R_{12}=\frac{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}{R_3R_4}\\ R_{13}=\frac{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}{R_2R_4} \\ R_{41}=\frac{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}{R_2R_3}$$

同理可得：

$$R_{23}= \frac{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}{R_1R_4} \\ R_{42}=\frac{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}{R_1R_3} \\ R_{34}=\frac{R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_3R_4+R_2R_3R_4}{R_1R_2}$$

$Y \rightarrow \Delta$ 变换推广到 $n$ 端：

$$R_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}}{\frac{1}{R_iR_j}}(i \neq j)$$

$\Delta \rightarrow Y$ 只有三端时才成立。